Risk!

Hablando sobre el risk el otro dia recorde que como pasatiempo me habia dedicado a escribir y calcular todas los resultados de combates del Risk.


para infinitos atacantes e infinitos defensores

como en su dia lo hice por aburrimiento no quise simplificar las cosas a formulas matematicas y/o estadisticas ( y como vereis tampoco me quiero comer la cabeza haciendolo porque con la cuenta de la vieja siempre es mas facil de mostrar a la gente que no sabe de estadistica)

veamos las reglas son asi
el atacante tira 3 dados (infinitas unidades atacantes) y el defensor tira 2 dados ( infinitas unidades defendiendo) , se ordenan los resultados de mayor a menor , se comparan los dos dados mas altos del atacante contra los del defensor uno a uno , en caso de superar el atacante el resultado del defensor este pierde una unidad, perdiendola el atacante en los demas casos y repetimos para el segundo dado.

ejemplo
atacante : 3,6,2 ----> 6,3
defensor : 4 ,4------>4,4
6vs4 = defensor pierde una unidad
3vs4 = atacante pierde una unidad
abajo esta el espacio muestral de los resultados del atacante y del defensor, por separado.
ATACANTE DEFENSOR

666	555	444	333	222	111		66	55	44	33	22	11
665	554	443	332	221			65	54	43	32	21
664	553	442	331	211			64	53	42	31
663	552	441	322				63	52	41
662	551	433	321				62	51
661	544	432	311				61		tabla2
655	543	431
654	542	422
653	541	421			DADO 1	DADO 2	DADO 3				DADO 1	DADO 2
652	533	411			A	A	A				A	A
651	532
644	531				A	A	B				A	B
643	522				A	B	A				B	A
642	521				B	A	A				tabla 4
641	511
633					A	B	C
632					A	C	B
631					B	A	C
622					B	C	A
621					C	A	B
611	tabla1				C	B	A	tabla3

EDIT*
el codigo de colores se corresponde con las tablas inferiores para ver cuantas permutaciones tiene cada resultado.
cuando tiramos 3 dados podemos obtener uno de los siguientes resultados:
tres veces el mismo numero AAA , dos numeros diferentes AyB, tres numeros diferentes A,ByC
da igual el numero de caras del dado siempre y cuando sea mayor de 2 (logicamente porque no podemos obtener tres resultados diferentes con una moneda por ejemplo)
en el supuesto en que obtenemos dos numeros diferentes AyB podemos tener AAB o BAA o ABA lo cual deja 3 posibles combinaciones , y para 3 numerso diferentes 6 combinaciones
de ahí que haya puesto un codigo de color, el resultado 666 solo lo podemos obtener de una forma : primer dado 6 segundo dado 6 tercer dado 6 PERO el resultado 665 puede presentarse de 3 formas (substituir 6 por A y 5 por B)
Asi con el codigo de colores podemos observar el numero de vpermutaciones posibles para cada resultado, y lo mismo he aplicado para la segunda tabla que trata de 2 dados


216 posibles combinaciones en el atacante (6^3 pero podeis sumarlas una a una si no me creeis)
36 en el defensor(6^2)


sin embargo del atacante nos interesan solo los dos resultados mas altos:
contamos el numero de veces que obtenemos una combinacion como 66, esto incluye 666, 665, 664, 663, 662 y661 que segun el codigo de colores de arriba nos da un total de
1+3+3+3+3+3=16 combinaciones
es decir 16 de cada 216(6^3)

EDIT*
(tambien suponemos que los dados son cubos regulares y que ninguna cara sale mas que otra)
esta tabla 5 es la traduccion de la tabla de colores numero 1

66x16	55x13	44x10	33x7	22x4	11x1
65x27	54x21	43x15	32x9	21x3
64x21	53x15	42x9	31x3
63x15	52x9	41x3
62x9	51x3
61x3				tabla 5

Una vez tenemos el resultado 66 del atacante (probabilidad 16/216) lo comparamos con los posibles resultados del defensor (columna de la derecha) y encontramos :

que
66 vs 66 el atacante pierde ambas piezas
66 vs 6X (para x menor que 6) ambos jugadores pierden una pieza
66 vs XX (X=/6)
PERDER
EMPATAR
GANAR

ahora comparamos las dos tablas

A/D	66	65	64	63	62	61	55	54	53	52	51	44	43	42	41	33	32	31	22	21	11
66
65
64
63
62
61
55
54
53
52
51
44
43
42
41
33
32
31
22
21
11

tabla 6

en la que comparamos la columna de la izquierda (resultado del atacante)con la fila de arriba(resultado del defensor)
Pero si incluimos el numero de veces que se repite en el espacio muestral correspondiente cada resultado obtenemos este otro grafico

A/D	1	2	2	2	2	2	1	2	2	2	2	1	2	2	2	1	2	2	1	2	1
16	16	32	32	32	32	32	16	32	32	32	32	16	32	32	32	16	32	32	16	32	16
27	27	54	54	54	54	54	27	54	54	54	54	27	54	54	54	27	54	54	27	54	27
21	21	42	42	42	42	42	21	42	42	42	42	21	42	42	42	21	42	42	21	42	21
15	15	30	30	30	30	30	15	30	30	30	30	15	30	30	30	15	30	30	15	30	15
9	9	18	18	18	18	18	9	18	18	18	18	9	18	18	18	9	18	18	9	18	9
3	3	6	6	6	6	6	3	6	6	6	6	3	6	6	6	3	6	6	3	6	3
13	13	26	26	26	26	26	13	26	26	26	26	13	26	26	26	13	26	26	13	26	13
21	21	42	42	42	42	42	21	42	42	42	42	21	42	42	42	21	42	42	21	42	21
15	15	30	30	30	30	30	15	30	30	30	30	15	30	30	30	15	30	30	15	30	15
9	9	18	18	18	18	18	9	18	18	18	18	9	18	18	18	9	18	18	9	18	9
3	3	6	6	6	6	6	3	6	6	6	6	3	6	6	6	3	6	6	3	6	3
10	10	20	20	20	20	20	10	20	20	20	20	10	20	20	20	10	20	20	10	20	10
15	15	30	30	30	30	30	15	30	30	30	30	15	30	30	30	15	30	30	15	30	15
9	9	18	18	18	18	18	9	18	18	18	18	9	18	18	18	9	18	18	9	18	9
3	3	6	6	6	6	6	3	6	6	6	6	3	6	6	6	3	6	6	3	6	3
7	7	14	14	14	14	14	7	14	14	14	14	7	14	14	14	7	14	14	7	14	7
9	9	18	18	18	18	18	9	18	18	18	18	9	18	18	18	9	18	18	9	18	9
3	3	6	6	6	6	6	3	6	6	6	6	3	6	6	6	3	6	6	3	6	3
4	4	8	8	8	8	8	4	8	8	8	8	4	8	8	8	4	8	8	4	8	4
3	3	6	6	6	6	6	3	6	6	6	6	3	6	6	6	3	6	6	3	6	3
1	1	2	2	2	2	2	1	2	2	2	2	1	2	2	2	1	2	2	1	2	1

tabla 7
en esta tabla hemos substituido la combinacion por el numero de veces que esta aparece segun las dos tablas que mostre mas arriba la tabla 5 y la tabla 2, luego he multiplicado el resultado de la columna por la fila y he puesto el resultado en la casilla

Ejemplo casilla Atacante 43 defensor 32 pasaria a ser A43=15 D32=2 21x2=30 "ver la casilla en negrita"

si sumamos el resultado de todas las casillas verdes y lo dividimos entre 6^5 (cinco dados de 6 caras)tenemos el porcetaje de victoria.
las casillas amarillas los empates y las rojas las derrotas

asi tenemos que de
7776 resultados posibles
2911 son victorias
2611 son empates
2254 derrotas

2911/7776=0,374 aprox
2611/7776=0,336 aprox
2254/7776=0,290 aprox

a grosso modo
37% de ganar
34% de empatar
29% de perder